有限域
域的扩张
设为一个域,如果是的子域,则称为的扩域
为域的一个扩张,将看成上的向量空间,若是有限维的,则称为的有限维扩张,上向量空间的维数称为扩张次数,记为
设为一个整环,是包含的一个域,是的扩张
的元素称为上的代数数,若存在一个非零多项式使得
如果的每个元素都是上的代数数,称为的代数扩张
的元素称为上的超越数,若不存在任何非零多项式使得
如果中至少有一个元素是上的超越数,称为的超越扩张
是域上的一个扩张,为上的代数数,则上的元素可以表示为
Galois域
由素域的次扩张构成的有限域为一种Galois域
有限域上的生成元称为的本原元,,定义的多项式叫本原多项式
有限域上的乘法群是一个循环群
有限域的表示
表现形式
易于加法运算
表现形式
易于乘法运算
有限域的本原元
寻找本原元 给定有限域,其中为素数,设的所有不同素因数为,则是中本原元的充要条件为 寻找本原元:Gauss算法
STEP1:
令,取中任一非零元,计算其阶,记为
STEP2:
若,则为本原元,停止循环;否则转至STEP3
STEP3:
取中另一非零元,满足不是的整数次幂,计算其阶,记为,若,则令为一本原元,停止循环;否则转至STEP4
STEP4:
取整数,使得,令,则,增加,转至STEP2
的幂的运算
乘除:正常运算
加法:异或运算
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