椭圆曲线加法

椭圆曲线在R\mathbb{R}上的加法

KKR\mathbb{R}KK的特征不为2,32,3时: y2=x3+a4x+a6y^2=x^3+a_4x+a_6 Δ=16(4a43+27a62)0\Delta=-16\left(4a_4^3+27a_6^2\right)\neq0

求逆运算P=(x1,y1)-P=\left(x_1,-y_1\right)

  • P(x1,y1)Q(x2,y2)P\left(x_1,y_1\right)\neq Q\left(x_2,y_2\right)P,QP,Q不互逆

  • P(x1,y1)=Q(x2,y2)=2P(x1,y1)P\left(x_1,y_1\right)=Q\left(x_2,y_2\right)=2P\left(x_1,y_1\right)

椭圆曲线在FpF_p上的加法

KKFpF_ppp为大于33的素数,KK的特征不为2,32,3时: y2=x3+a4x+a6(modp)y^2=x^3+a_4x+a_6\left(\mod p\right) Δ=16(4a43+27a62)0(modp)\Delta=-16\left(4a_4^3+27a_6^2\right)\neq0\left(\mod p\right)

求逆运算P=(x1,py1)-P=\left(x_1,p-y_1\right)

  • P(x1,y1)Q(x2,y2)P\left(x_1,y_1\right)\neq Q\left(x_2,y_2\right)P,QP,Q不互逆

  • P(x1,y1)=Q(x2,y2)=2P(x1,y1)P\left(x_1,y_1\right)=Q\left(x_2,y_2\right)=2P\left(x_1,y_1\right)

  • FpF_pEE的阶为,括号为勒让德符号

  • 当循环群EE的阶nn是足够大的素数时,这个循环群中的离散对数问题是困难的

椭圆曲线在F2nF_{2^n}上的加法

KKF2nF_{2^n}KK的特征为22时: y2+xy=x3+a2x2+a6y^2+xy=x^3+a_2x^2+a_6 Δ=a60\Delta=a_6\neq0 求逆运算P=(x1,x1+y1)-P=\left(x_1,x_1+y_1\right)

  • P(x1,y1)Q(x2,y2)P\left(x_1,y_1\right)\neq Q\left(x_2,y_2\right)P,QP,Q不互逆

  • P(x1,y1)=Q(x2,y2)=2P(x1,y1)P\left(x_1,y_1\right)=Q\left(x_2,y_2\right)=2P\left(x_1,y_1\right)

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