同态和同构

定义

  • 同态：f:G→G′,∀a,b∈G,f(ab)=f(a)f(b)f:G\rightarrow G^\prime,\forall a,b\in G,f\left(ab\right)=f\left(a\right)f\left(b\right)

  • 单同态：ff为单射

  • 满同态：ff为满射

  • 同构：ff为双射，记作f:G≅G′f:G\cong G^\prime

  • 自同态：G=G′G=G^\prime

  • 像：f:X→Y,A⊆X,B⊆Y,Af:X\rightarrow Y,A\subseteq X,B\subseteq Y,A在YY中的像f[A]f\left[A\right]为{f(a)∣a∈A}\left\{f\left(a\right)\mid a\in A\right\}

  • 逆像：BB在XX中的逆像f−1[B]f^{-1}{\left[B\right]}为{x∈X∣f(x)∈B}\left\{x\in X\mid f\left(x\right)\in B\right\}

  • 核/核子群：ker(f)=f−1[{e′}]={x∈G∣f(x)=e′}\mathrm{ker}{\left(f\right)}=f^{-1}{\left[\left\{e^\prime\right\}\right]}=\left\{x\in G\mid f\left(x\right)=e^\prime\right\}

同态映射f:Z→(Zp,+)f:Z\rightarrow \left(Z_p,+\right)，ker⁡(f)=<pZ>\ker\left(f\right)=<pZ>

  • 像子群：g(G)g\left(G\right)

    核子群即由GG中所有能通过ff映射成为G′G^\prime中的单位元的元素所组成的集合 像子群即GG中所有元素通过ff映射后组成的集合

性质

  • ff为GG到G′G^\prime的同态（同构），gg为G′G^\prime到G′′G^{\prime\prime}的同态（同构）⟹f∘g\Longrightarrow f\circ g为GG到G′′G^{\prime\prime}的同态（同构）

  • ff为GG到G′G^\prime的同态

    • f(e)=e′f\left(e\right)=e^\prime

    • ∀a∈G,f(a−1)=f−1(a)\forall a\in G,f\left(a^{-1}\right)=f^{-1}{\left(a\right)}

    • ker(f)≤G\mathrm{ker}{\left(f\right)}\leq G且ff为单同态⟺ker(f)={e}\Longleftrightarrow \mathrm{ker}{\left(f\right)}=\left\{e\right\}

    • H′≤G′⟹f−1(H′)≤GH^\prime\leq G^\prime\Longrightarrow f^{-1}{\left(H^\prime\right)}\leq G

证明f:G→G′f:G\rightarrow G^\prime同构

  • STEP1: ff为同态映射

    证明f:G→G′,∀a,b∈G,f(ab)=f(a)f(b)f:G\rightarrow G^\prime,\forall a,b\in G,f\left(ab\right)=f\left(a\right)f\left(b\right)

  • STEP2: ker(f)={e}\mathrm{ker}{\left(f\right)}=\left\{e\right\}或ff为单射

    证明f(m)=f(n)⟹m=nf\left(m\right)=f\left(n\right)\Longrightarrow m=n

  • STEP3: ff为满射

    证明m=f−1(n),f(m)=nm=f^{-1}{\left(n\right)},f\left(m\right)=n

同态分解定理

  • 自然同态

    f:G→G′f:G\rightarrow G^\prime同态⟹ker(f)\Longrightarrow \mathrm{ker}{\left(f\right)}为GG的正规子群

    NN为GG的正规子群S:G→G/H(a→aN)S:G\rightarrow G/H(a\rightarrow aN)是核为NN的同态，SS为自然同态

  • 同态基本定理

    f:G→G′f:G\rightarrow G^\prime同态⟹∃\Longrightarrow \exists唯一G/ker(f)→f(G)G/\mathrm{ker}{\left(f\right)}\rightarrow f\left(G\right)同构fˉ:aker(f)→f(a)f=i∘fˉ∘s\bar{f}:a\mathrm{ker}{\left(f\right)}\rightarrow f\left(a\right)f=i\circ \bar{f}\circ s，其中ss为G→G/ker(f)G\rightarrow G/\mathrm{ker}{\left(f\right)}自然同态，i:c→ci:c\rightarrow c为f(G)→G′f\left(G\right)\rightarrow G^\prime恒等同态

    s:G→G/Ns:G\rightarrow G/N同态⟹∀a∈G,f(a)=fˉ∘s(a)\Longrightarrow \forall a\in G,f\left(a\right)=\bar{f}\circ s\left(a\right)

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