同态和同构

定义

• 同态：$f:G\rightarrow G^\prime,\forall a,b\in G,f\left(ab\right)=f\left(a\right)f\left(b\right)$

• 单同态：$f$为单射

• 满同态：$f$为满射

• 同构：$f$为双射，记作$f:G\cong G^\prime$

• 自同态：$G=G^\prime$

• 像：$f:X\rightarrow Y,A\subseteq X,B\subseteq Y,A$在$Y$中的像$f\left[A\right]$为$\left\{f\left(a\right)\mid a\in A\right\}$

• 逆像：$B$在$X$中的逆像$f^{-1}{\left[B\right]}$为$\left\{x\in X\mid f\left(x\right)\in B\right\}$

• 核/核子群：$\mathrm{ker}{\left(f\right)}=f^{-1}{\left[\left\{e^\prime\right\}\right]}=\left\{x\in G\mid f\left(x\right)=e^\prime\right\}$

同态映射$f:Z\rightarrow \left(Z_p,+\right)$，$\ker\left(f\right)=<pZ>$

• 像子群：$g\left(G\right)$

  核子群即由$G$中所有能通过$f$映射成为$G^\prime$中的单位元的元素所组成的集合 像子群即$G$中所有元素通过$f$映射后组成的集合

性质

• $f$为$G$到$G^\prime$的同态（同构），$g$为$G^\prime$到$G^{\prime\prime}$的同态（同构）$\Longrightarrow f\circ g$为$G$到$G^{\prime\prime}$的同态（同构）

• $f$为$G$到$G^\prime$的同态

  • $f\left(e\right)=e^\prime$

  • $\forall a\in G,f\left(a^{-1}\right)=f^{-1}{\left(a\right)}$

  • $\mathrm{ker}{\left(f\right)}\leq G$且$f$为单同态$\Longleftrightarrow \mathrm{ker}{\left(f\right)}=\left\{e\right\}$

  • $H^\prime\leq G^\prime\Longrightarrow f^{-1}{\left(H^\prime\right)}\leq G$

证明$f:G\rightarrow G^\prime$同构

• STEP1: $f$为同态映射

  证明$f:G\rightarrow G^\prime,\forall a,b\in G,f\left(ab\right)=f\left(a\right)f\left(b\right)$
• STEP2: $\mathrm{ker}{\left(f\right)}=\left\{e\right\}$或$f$为单射

  证明$f\left(m\right)=f\left(n\right)\Longrightarrow m=n$
• STEP3: $f$为满射

  证明$m=f^{-1}{\left(n\right)},f\left(m\right)=n$

同态分解定理

• 自然同态

  $f:G\rightarrow G^\prime$同态$\Longrightarrow \mathrm{ker}{\left(f\right)}$为$G$的正规子群

  $N$为$G$的正规子群$S:G\rightarrow G/H(a\rightarrow aN)$是核为$N$的同态，$S$为自然同态
• 同态基本定理

  $f:G\rightarrow G^\prime$同态$\Longrightarrow \exists$唯一$G/\mathrm{ker}{\left(f\right)}\rightarrow f\left(G\right)$同构$\bar{f}:a\mathrm{ker}{\left(f\right)}\rightarrow f\left(a\right)f=i\circ \bar{f}\circ s$，其中$s$为$G\rightarrow G/\mathrm{ker}{\left(f\right)}$自然同态，$i:c\rightarrow c$为$f\left(G\right)\rightarrow G^\prime$恒等同态

  $s:G\rightarrow G/N$同态$\Longrightarrow \forall a\in G,f\left(a\right)=\bar{f}\circ s\left(a\right)$