雅可比符号

定义

设$m=p_1\cdots p_r$是奇素数$p_i$的乘积

$\left(\frac{a}{m}\right)=\left(\frac{a}{p_1}\right)\cdots\left(\frac{a}{p_r}\right)$

\left(\frac{a}{m}\right)=\left\{ \begin{array}{**lr**} -1 &可判断a是模m平方非剩余\\ 1 &不可判断a是模m平方剩余 \end{array} \right.

性质

• 若$m=p_1\cdots p_r$是奇数

  • $\left(\frac{a+m}{m}\right)=\left(\frac{a}{m}\right)$

  • $\left(\frac{a\cdot b}{m}\right)=\left(\frac{a}{m}\right)\left(\frac{b}{m}\right)$

  • 设$\left(a,m\right)=1$，则$\left(\frac{a^2}{m}\right)=1$

  • $\frac{m-1}{2}\equiv \frac{p_1-1}{2}+\cdots\frac{p_r-1}{2}\left(\mod 2\right)$

  • $\frac{m^2-1}{2}\equiv \frac{p_1^2-1}{2}+\cdots\frac{p_r^2-1}{2}\left(\mod 2\right)$

  • $\left(\frac{1}{m}\right)=1$

  • $\left(\frac{-1}{m}\right)={\left(-1\right)}^{\frac{m-1}{2}}$

  • $\left(\frac{2}{m}\right)={\left(-1\right)}^{\frac{m^2-1}{8}}$

• 若$m,n$均为奇数

  • $\left(\frac{n}{m}\right)={\left(-1\right)}^{\frac{m-1}{2}\cdot\frac{n-1}{2}}\left(\frac{m}{n}\right)$