正规子群和商群

陪集

  • 定义

    HHGG的子群,aaGG中的任意元,则aH={ahhH}aH=\left\{ah\mid h\in H\right\}GG中的左陪集,Ha={hahH}Ha=\left\{ha\mid h\in H\right\}为右陪集

    aHaH中的元素叫aHaH的代表元

    aH=HaaH=Ha,则aHaHGGHH的陪集

  • 定理

    • aG,aH={ccG,a1cH},Ha={ccG,ca1H}\forall a\in G,aH=\left\{c\mid c\in G,a^{-1}c\in H\right\},Ha=\left\{c\mid c\in G,ca^{-1}\in H\right\}

    • a,bG,aH=bHb1aH\forall a,b\in G,aH=bH\Longleftrightarrow b^{-1}a\in H

    • a,bG,aHbH=b1a∉H\forall a,b\in G,aH\cap bH=\varnothing\Longleftrightarrow b^{-1}a\not\in H

    • aH,aH=H=Ha\forall a\in H,aH=H=Ha

(Zha,+)\left(Z_{ha},+\right)子群<a><a>的所有陪集

STEP 1: <a><a>生成子群{0,a,2a,,(h1)a}\left\{0,a,2a,\cdots,\left(h-1\right)a\right\}

STEP 2: 陪集为{m+0,m+a,m+2a,,m+(h1)a},m=0,,a1\left\{m+0,m+a,m+2a,\cdots,m+\left(h-1\right)a\right\},m=0,\cdots,a-1

商集

  • 定义

    G/H={aHaG}G/H=\left\{aH\mid a\in G\right\}

    G/HG/H中左(右)陪集的个数叫做HHGG中的指标,记作[G:H]\left[G:H\right]

  • 拉格朗日定理

    HGG=[G:H]HH\leq G\Longrightarrow \left|G\right|=\left[G:H\right]\left|H\right|

    K,HG,KH[G:K]=[G:H][H:K]K,H\leq G,K\leq H\Longrightarrow \left[G:K\right]=\left[G:H\right]\left[H:K\right]

正规子群

HG,HH\leq G,H满足aG,aH=Ha\forall a\in G,aH=Ha

商群

NNGG的正规子群,(aN)(bN)=(ab)N\left(aN\right)\left(bN\right)=\left(ab\right)NG/NG/N构成一个商群

m+<a>m+<a>Zka/<a>Z_{ka}/<a>里的阶

  • 写出<a><a>

  • (m+<a>)ord(m+<a>)=<a>{\left(m+<a>\right)}\cdot{\mathrm{ord}\left(m+<a>\right)}=<a>

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