正规子群和商群

陪集

• 定义

  设$H$为$G$的子群，$a$为$G$中的任意元，则$aH=\left\{ah\mid h\in H\right\}$为$G$中的左陪集，$Ha=\left\{ha\mid h\in H\right\}$为右陪集

  $aH$中的元素叫$aH$的代表元

  若$aH=Ha$，则$aH$为$G$中$H$的陪集
• 定理

  • $\forall a\in G,aH=\left\{c\mid c\in G,a^{-1}c\in H\right\},Ha=\left\{c\mid c\in G,ca^{-1}\in H\right\}$
  • $\forall a,b\in G,aH=bH\Longleftrightarrow b^{-1}a\in H$
  • $\forall a,b\in G,aH\cap bH=\varnothing\Longleftrightarrow b^{-1}a\not\in H$
  • $\forall a\in H,aH=H=Ha$

群$\left(Z_{ha},+\right)$子群$<a>$的所有陪集

STEP 1: $<a>$生成子群$\left\{0,a,2a,\cdots,\left(h-1\right)a\right\}$

STEP 2: 陪集为$\left\{m+0,m+a,m+2a,\cdots,m+\left(h-1\right)a\right\},m=0,\cdots,a-1$

商集

• 定义

  $G/H=\left\{aH\mid a\in G\right\}$

  $G/H$中左（右）陪集的个数叫做$H$在$G$中的指标，记作$\left[G:H\right]$
• 拉格朗日定理

  $H\leq G\Longrightarrow \left|G\right|=\left[G:H\right]\left|H\right|$

  $K,H\leq G,K\leq H\Longrightarrow \left[G:K\right]=\left[G:H\right]\left[H:K\right]$

正规子群

$H\leq G,H$满足$\forall a\in G,aH=Ha$

商群

$N$为$G$的正规子群，$\left(aN\right)\left(bN\right)=\left(ab\right)N$，$G/N$构成一个商群

$m+<a>$在$Z_{ka}/<a>$里的阶

• 写出$<a>$
• ${\left(m+<a>\right)}\cdot{\mathrm{ord}\left(m+<a>\right)}=<a>$