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# 正规子群和商群

## **陪集**

* 定义

  设$$H$$为$$G$$的子群，$$a$$为$$G$$中的任意元，则$$aH=\left{ah\mid h\in H\right}$$为$$G$$中的左陪集，$$Ha=\left{ha\mid h\in H\right}$$为右陪集

  $$aH$$中的元素叫$$aH$$的代表元

  若$$aH=Ha$$，则$$aH$$为$$G$$中$$H$$的陪集
* 定理
  * $$\forall a\in G,aH=\left{c\mid c\in G,a^{-1}c\in H\right},Ha=\left{c\mid c\in G,ca^{-1}\in H\right}$$
  * $$\forall a,b\in G,aH=bH\Longleftrightarrow b^{-1}a\in H$$
  * $$\forall a,b\in G,aH\cap bH=\varnothing\Longleftrightarrow b^{-1}a\not\in H$$
  * $$\forall a\in H,aH=H=Ha$$ 

> 群$$\left(Z\_{ha},+\right)$$子群$$<a>$$的所有陪集
>
> **STEP 1:** $$<a>$$生成子群$$\left{0,a,2a,\cdots,\left(h-1\right)a\right}$$
>
> **STEP 2:** 陪集为$$\left{m+0,m+a,m+2a,\cdots,m+\left(h-1\right)a\right},m=0,\cdots,a-1$$

## **商集**

* 定义

  $$G/H=\left{aH\mid a\in G\right}$$

  $$G/H$$中左（右）陪集的个数叫做$$H$$在$$G$$中的指标，记作$$\left\[G:H\right]$$
* 拉格朗日定理

  $$H\leq G\Longrightarrow \left|G\right|=\left\[G:H\right]\left|H\right|$$

  $$K,H\leq G,K\leq H\Longrightarrow \left\[G:K\right]=\left\[G:H\right]\left\[H:K\right]$$

## **正规子群**

&#x20; $$H\leq G,H$$满足$$\forall a\in G,aH=Ha$$

## **商群**

$$N$$为$$G$$的正规子群，$$\left(aN\right)\left(bN\right)=\left(ab\right)N$$，$$G/N$$构成一个商群

> $$m+<a>$$在$$Z\_{ka}/<a>$$里的阶
>
> * 写出$$<a>$$
> * $${\left(m+<a>\right)}\cdot{\mathrm{ord}\left(m+<a>\right)}=<a>$$