环

定义

若$<R,+>$构成交换群，$<R,\cdot>$构成半群（$\forall a,b,c\in R,\left(ab\right)c=a\left(bc\right)$），$\cdot$关于$+$适合分配律（$\forall a,b,c\in R,\left(a+b\right)c=ac+bc,a\left(b+c\right)=ab+ac$），则$<R,+,\cdot>$为环

• 交换环：$\forall a,b\in R,a\cdot b=b\cdot a$

• 含幺环：$\exists e=1_R,\forall a\in R,a\cdot 1_R=1_R\cdot a=a$

• 非零元$a$为左零因子：$\exists b\in R,b\neq 0,ab=0$

  • 零因子：$a$同时为左零因子和右零因子，$R$为零因子环

• $a$为左逆元：$\exists b\in R,ab=1_R$

  • 逆元：$a$同时为左逆元和右逆元

  • 整环：$R$为交换环、含幺环、无零因子环

性质

• $\forall a\in R,0a=a0=0$

• $\forall a,b\in R,\left(-a\right)b=a\left(-b\right)=-ab$

• $\forall a,b\in R,\left(-a\right)\left(-b\right)=ab$

• $\forall n\in Z,\forall a,b\in R,\left(nab\right)=a\left(nb\right)=nab$

• \forall a_i,b_j\in R,\left(\sum_\limits{i=1}^{n}{a_i}\right)\left(\sum_\limits{j=1}^{n}{b_j}\right)=\sum_\limits{i=1}^{n}{\sum_\limits{j=1}^{n}{a_ib_j}}