置换群

$n$元置换

设$S=\left\{1,\cdots,n\right\},\sigma:S\rightarrow S,k\rightarrow \sigma{\left(k\right)=i_k}$，表示为$\sigma=\left( \begin{array}{ccc} 1&2&\cdots&n-1&n\\ i_1&i_2&\cdots&i_{n-1}&i_n \end{array} \right)$

• $\sigma^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} i_1&i_2&\cdots&i_{n-1}&i_n\\ 1&2&\cdots&n-1&n \end{array} \right)$

• 若$S$中部分元素$\left\{i_1,\cdots,i_k\right\}$满足$\sigma{\left(i_1\right)}=i_2,\sigma{\left(i_2\right)}=i_3,\cdots,\sigma{\left(i_k\right)}=i_1$，则称为k-轮变换，简称轮换，记作$\sigma=\left(i_1,\cdots,i_k\right)$

  • $k=1$时为恒等置换

  • $k=2$时为对换

  • $\sigma=\left(i_1,\cdots,i_k\right),\tau=\left(j_1,\cdots,j_l\right)$，若$k+l$个元素均不相同，则$\sigma,\tau$不相交

  • 任意一个置换都可以表示为一些不相交轮换的乘积，且表达式唯一

  • k-轮换可以表示为2-轮换，$\left(a_1\cdots,a_k\right)=\left(a_1,a_k\right)\left(a_1,a_{k-1}\right)\cdots\left(a_1,a_2\right)$

置换群

$n$元置换全体组成的集合$S_n$置换的乘法构成$n$元置换群，阶为$n!$

设$G$为$n$元群，则$G$同构一个$n$元置换群