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环

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定义

若<R,+><R,+>构成交换群，<R,⋅><R,\cdot>构成半群（∀a,b,c∈R,(ab)c=a(bc)\forall a,b,c\in R,\left(ab\right)c=a\left(bc\right)），⋅\cdot关于++适合分配律（∀a,b,c∈R,(a+b)c=ac+bc,a(b+c)=ab+ac\forall a,b,c\in R,\left(a+b\right)c=ac+bc,a\left(b+c\right)=ab+ac），则<R,+,⋅><R,+,\cdot>为环

  • 交换环：∀a,b∈R,a⋅b=b⋅a\forall a,b\in R,a\cdot b=b\cdot a

  • 含幺环：∃e=1R,∀a∈R,a⋅1R=1R⋅a=a\exists e=1_R,\forall a\in R,a\cdot 1_R=1_R\cdot a=a

  • 非零元aa为左零因子：∃b∈R,b≠0,ab=0\exists b\in R,b\neq 0,ab=0

    • 零因子：aa同时为左零因子和右零因子，RR为零因子环

  • aa为左逆元：∃b∈R,ab=1R\exists b\in R,ab=1_R

    • 逆元：aa同时为左逆元和右逆元

    • 整环：RR为交换环、含幺环、无零因子环

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性质

  • ∀a∈R,0a=a0=0\forall a\in R,0a=a0=0

  • ∀a,b∈R,(−a)b=a(−b)=−ab\forall a,b\in R,\left(-a\right)b=a\left(-b\right)=-ab

  • ∀a,b∈R,(−a)(−b)=ab\forall a,b\in R,\left(-a\right)\left(-b\right)=ab

  • ∀n∈Z,∀a,b∈R,(nab)=a(nb)=nab\forall n\in Z,\forall a,b\in R,\left(nab\right)=a\left(nb\right)=nab

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