循环群

定义

若$\exists a\in G,G=<a>$，则$G$为循环群，$a$为$G$的生成元

使等式$a^n=e$成立的最小正整数$n$称为$a$的阶，记为$\mathrm{ord}\left(a\right)$

若$a$为$n$阶元，则$n$阶循环群$G=\left\{a^0=e,a^1,a^2,\cdots,a^{n-1}\right\}$

定理

• 加群$Z$的每个子群$H$都是循环群，且$H=<0>$或$H=<m>=mZ,m$为$H$中的最小正整数

• 每一个无限循环群同构于加群$Z$，每一个阶为$m$的有限循环群同构于加群$Z/mZ$

• $m=\mathrm{ord}\left(a\right)$

  • $a^k=e\Longleftrightarrow m\mid k$

  • $a^r\equiv a^k\Longleftrightarrow r\equiv k\left(\mod m\right)$

  • $\forall 1\leq d\leq m,\mathrm{ord}\left(a^d\right)=\frac{m}{\left(d,m\right)}$

• 循环群的子群是循环群

• $G$为循环群，$G$的生成元为$$\left{

  \begin{array}{lr}

  a和a^{-1} &G\text{是无限的}\

  a^k,\left(k,m\right)=1 &G\text{是有限的}

  \end{array}

  \right.$$

• 若$G$为乘法群$\left(Z_m,\cdot\right)$，则生成元$a$为模$m$的原根，$G$中共有$m-1$个元素

• 若$G$为有限交换群，则$\exists a_1,\cdots,a_n\in G,\mathrm{ord}\left(a_{i+1}\right)\mid \mathrm{ord}\left(a_i\right),1\leq i\leq s-1,G=<a_1,\cdots,a_s>$