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# 循环群

## **定义**

若$$\exists a\in G,G=<a>$$，则$$G$$为循环群，$$a$$为$$G$$的生成元

使等式$$a^n=e$$成立的最小正整数$$n$$称为$$a$$的阶，记为$$\mathrm{ord}\left(a\right)$$

若$$a$$为$$n$$阶元，则$$n$$阶循环群$$G=\left{a^0=e,a^1,a^2,\cdots,a^{n-1}\right}$$

## **定理**

* 加群$$Z$$的每个子群$$H$$都是循环群，且$$H=<0>$$或$$H=<m>=mZ,m$$为$$H$$中的最小正整数
* 每一个无限循环群同构于加群$$Z$$，每一个阶为$$m$$的有限循环群同构于加群$$Z/mZ$$
* $$m=\mathrm{ord}\left(a\right)$$
  * $$a^k=e\Longleftrightarrow m\mid k$$
  * $$a^r\equiv a^k\Longleftrightarrow r\equiv k\left(\mod m\right)$$
  * $$\forall 1\leq d\leq m,\mathrm{ord}\left(a^d\right)=\frac{m}{\left(d,m\right)}$$
* 循环群的子群是循环群
* $$G$$为循环群，$$G$$的生成元为$$\left{

  \begin{array}{**lr**}&#x20;

  a和a^{-1} \&G\text{是无限的}\\

  a^k,\left(k,m\right)=1 \&G\text{是有限的}

  \end{array}

  \right.$$
* 若$$G$$为乘法群$$\left(Z\_m,\cdot\right)$$，则生成元$$a$$为模$$m$$的原根，$$G$$中共有$$m-1$$个元素
* 若$$G$$为有限交换群，则$$\exists a\_1,\cdots,a\_n\in G,\mathrm{ord}\left(a\_{i+1}\right)\mid \mathrm{ord}\left(a\_i\right),1\leq i\leq s-1,G=\<a\_1,\cdots,a\_s>$$