多项式环
定义
为整环,为变量,上的多项式记作 对于多项式加法和乘法,为整环
多项式整除和不可约多项式
:
不可约多项式:除和外,没有其他非常数因式,否则为合式
设是域上的次可约多项式,是的次数最小的非常数饮食,则一定是不可约多项式,且
设是域上的次可约多项式,若不可约多项式,则为不可约多项式
多项式欧几里得除法
设整环上两个多项式,则存在
为不完全商,为余式
对于有,存在和常数
对于有,
最大公因式:
则为最大公因式,记作
若,则和互质
求最大公因式(广义欧几里得除法) 假设
设域上两个多项式,则存在
设域上两个多项式,为广义欧几里得除法中最后一个非零余式
\left\{\begin{array}{**lr**} s_{-2}\left(x\right)=1\\ s_{-1}\left(x\right)=0\\ t_{-2}\left(x\right)=0\\ t_{-1}\left(x\right)=1\\ s_j\left(x\right)=\left(-q_j\left(x\right)\right)s_{j-1}\left(x\right)+s_{j-2}\left(x\right)\\ t_j\left(x\right)=\left(-q_j\left(x\right)\right)t_{j-1}\left(x\right)+t_{j-2}\left(x\right)\end{array} \right.
多项式同余
给定中一个首一多项式,若,则
为模的最小余式
构造有限域:设为一个域,为中的不可约多项式,则商环对于加法式和乘法式构成一个域
本原多项式
设为素数,是中的次不可约多项式,则记作,这个域元素个数为
设为素数,为中的次多项式,则使得成立的最小正整数叫做在上的指数,记作
整数使得,则
为上的次不可约多项式,则
若,则称为上的本原多项式
设为素数,为上的本原多项式,则是上的不可约多项式
判别本原多项式
设为素数,为正整数,是中的次多项式,若,对于的所有不同素因数,,则是次本原多项式
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