基本概念

Weierstrass方程

域$K$上的椭圆曲线$E$方程为$E:y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6$

其中$a_1,a_2,a_3,a_4\in K,\Delta\neq0$

$\Delta=-d_2^2d_8-8d_4^2-27d_6^3+9d_2d_4d_6$

$d_2=a_1^2+4a_2$

$d_4=2a_4+a_1a_3$

$d_6=a_3^2+4a_6$

$d_8=a_1^2a_6+4a_2a_6-a_1a_3a_4+a_2a_3^2-a_4^2$

• 无穷远点$\left\{0\left(\infty,\infty\right)\right\}=\left\{\left(x,y\right)\in L\times L:E:y^2+a_1xy+a_3y-x^3-a_2x^2-a_4x-a_6=0\right\}$

简化Weierstrass方程

$\left(x^\prime,y^\prime\right)\rightarrow\left(\frac{x-3a_1^2-12a_2}{36},\frac{y-3a_1x}{216}-\frac{a_1^3+4a_1a_2-12a_3}{24}\right)$

得到$E:{y^\prime}^2={x^\prime}^3+a_4x^\prime+a_6$

$\Delta=-16\left(4a_4^3+27a_6^2\right)\neq0$

椭圆曲线与群

• $K$为$\mathbb{R}$，$K$的特征不为$2,3$时：

  $y^2=x^3+a_4x+a_6$

  $\Delta=-16\left(4a_4^3+27a_6^2\right)\neq0$
• $K$为$F_p$，$p$为大于$3$的素数，$K$的特征不为$2,3$时：

  $y^2=x^3+a_4x+a_6\left(\mod p\right)$

  $\Delta=-16\left(4a_4^3+27a_6^2\right)\neq0\left(\mod p\right)$
• $K$为$F_{2^n}$，$K$的特征为$2$时：

  $y^2+xy=x^3+a_2x^2+a_6$

  $\Delta=a_6\neq0$
• 其解为一个二元组$<x,y>,x,y\in K$，将此二元组描画到椭圆曲线上便为一个点，称其为解点
• 解点构成群

  • 单位元：$0\left(\infty,\infty\right)$简记为$0$
  • 逆元：解点$R\left(x,y\right)=R^{-1}\left(x,-y\right)$，$0\left(\infty,\infty\right)=-0\left(\infty,\infty\right)$
  • 加法：$kP=P+\cdots+P$，有时记为$P^k$

    椭圆曲线加法