群和子群

群的定义

非空集合$G$满足

• G1: 结合律 $\forall a,b,c\in G,\left(ab\right)c=a\left(bc\right)$

• G2: 单位元 $\exists e\in G,\forall a\in G,ae=ea=a$

• G3: 可逆性 $\forall a\in G,\exists a^{-1}\in G,aa^{-1}=a^{-1}a=e$

Abel群/交换群

群$G$满足

• G4: 交换律 $\forall a,b\in G,ab=ba$

定义和性质

• 群$G$的元素个数叫做群$G$的阶，记作$\left|G\right|$

• 单位元唯一

• 逆元唯一

• ${\left(a_1a_2\cdots a_n\right)}^{-1}=a_{n}^{-1}\cdots a_{2}^{-1}a_{1}^{-1}$

• $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$，${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$

• $x,y\in G$，$G$为Abel群，${\left(xy\right)}^n=x^ny^n$

• \left\{ \begin{array}{**lr**} ax=b\\ ya=b \end{array} \right.在$G$中有解，$G$满足结合律$\Longleftrightarrow G$为一个群

子群

• 定义

  • 子群：$H$为$G$的一个子集，$H$为一个群，记作$H\leq G$
  • 平凡子群：$H=\left\{e\right\}$和$H=G$
  • 真子群：$H$不是平凡子群
• 性质

  • H\leq G\Longleftrightarrow\left\{ \begin{array}{**lr**} H是满足G下的封闭二元运算\\ G的单位元在H内\\ \forall a\in H,a^{-1}\in H \end{array} \right.

  • $H\leq G\Longleftrightarrow \forall a,b\in H,ab^{-1}\in H$
  • $H_1,H_2\leq G\Longrightarrow H_1\cap H_2\leq G$
• 生成

  • $X$为$G$子集，设${\left\{H_i\right\}}_{i\in I}$为$G$的包含$X$的所有子群，则$\cap_{i\in I}{H_i}$为$G$的由$X$生成的子群，记作$<X>$

    • $X$的元素为$<X>$生成元
    • 若$G=<a_1,\cdots,a_n>$，则$G$为有限生成的
    • 若$G=<a>$，则$G$为$a$生成的循环群
  • $G$为交换群，$X=<a_1,\cdots,a_t>$，<X>=\left\{ \begin{array}{**lr**} \left\{a_{1}^{n_1}\cdots a_{t}^{n_t}\mid a_i\in X,n_i\in Z,1\leq i\leq t\right\} &G为乘法群\\ \left\{n_1a_{1}\cdots n_ta_{t}\mid a_i\in X,n_i\in Z,1\leq i\leq t\right\} &G为加法群 \end{array} \right.，

    特别的，\forall a\in G,<a>=\left\{ \begin{array}{**lr**} \left\{a^n\mid n\in Z\right\} &G为乘法群\\ \left\{na\mid n\in Z\right\} &G为加法群 \end{array} \right.

$\left(Z_m,+\right)$的所有子群

• 对$n\neq m$且$n\mid m$，$<n>$为子群
• $<0>=\left\{0\right\}$

乘法群$Z_{p}^{*}$的所有子群和生成元

• STEP 1: $p-1=q_1\cdots q_s$，模$p$原根为$g$
• STEP 2:

  • $<g>$生成$p-1$阶子群
  • $<g^{q_i}>$生成$\frac{p-1}{q_i}$阶子群
  • $<1>=\left\{1\right\}$

$Z/nZ^*$的所有生成元

• STEP 1: 模$n$原根为$g$
• STEP 2: 求所有$d$，$\left(d,\varphi\left(n\right)\right)=1$
• STEP 3: 生成元为$g^d$