群的定义
非空集合G满足
G1: 结合律 ∀a,b,c∈G,(ab)c=a(bc)
G2: 单位元 ∃e∈G,∀a∈G,ae=ea=a
G3: 可逆性 ∀a∈G,∃a−1∈G,aa−1=a−1a=e
Abel群/交换群
群G满足
G4: 交换律 ∀a,b∈G,ab=ba
定义和性质
群G的元素个数叫做群G的阶，记作∣G∣
(a1a2⋯an)−1=an−1⋯a2−1a1−1
aman=am+n，(am)n=amn
x,y∈G，G为Abel群，(xy)n=xnyn
\left\{ \begin{array}{**lr**} ax=b\\ ya=b \end{array} \right.在G中有解，G满足结合律⟺G为一个群
子群
性质
H\leq G\Longleftrightarrow\left\{ \begin{array}{**lr**} H是满足G下的封闭二元运算\\ G的单位元在H内\\ \forall a\in H,a^{-1}\in H \end{array} \right.
生成
特别的，\forall a\in G,<a>=\left\{ \begin{array}{**lr**} \left\{a^n\mid n\in Z\right\} &G为乘法群\\ \left\{na\mid n\in Z\right\} &G为加法群 \end{array} \right.
子群：H为G的一个子集，H为一个群，记作H≤G
平凡子群：H={e}和H=G
H≤G⟺∀a,b∈H,ab−1∈H
H1,H2≤G⟹H1∩H2≤G
X为G子集，设{Hi}i∈I为G的包含X的所有子群，则∩i∈IHi为G的由X生成的子群，记作<X>
若G=<a1,⋯,an>，则G为有限生成的
若G=<a>，则G为a生成的循环群
G为交换群，X=<a1,⋯,at>，<X>=\left\{ \begin{array}{**lr**} \left\{a_{1}^{n_1}\cdots a_{t}^{n_t}\mid a_i\in X,n_i\in Z,1\leq i\leq t\right\} &G为乘法群\\ \left\{n_1a_{1}\cdots n_ta_{t}\mid a_i\in X,n_i\in Z,1\leq i\leq t\right\} &G为加法群 \end{array} \right.，
(Zm,+)的所有子群
对n=m且n∣m，<n>为子群
<0>={0}
乘法群Zp∗的所有子群和生成元
STEP 1: p−1=q1⋯qs，模p原根为g
<gqi>生成qip−1阶子群
<1>={1}
STEP 2: 求所有d，(d,φ(n))=1