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设m>1m>1m>1为整数，aaa是与mmm互素的正整数，ggg为模mmm的一个原根，则存在唯一的1≤r≤φ(m)1\leq r\leq \varphi{\left(m\right)}1≤r≤φ(m)，使得gr≡a(mod m)g^r\equiv a\left(\mod m\right)gr≡a(modm)，记作r=indgar=\mathrm{ind}_{g}{a}r=indga
整数rrr满足gr≡a(mod m)⟹r≡indga(mod φ(m))g^r\equiv a\left(\mod m\right)\Longrightarrow r\equiv \mathrm{ind}_{g}{a}\left(\mod \varphi{\left(m\right)}\right)gr≡a(modm)⟹r≡indga(modφ(m))
以ggg为底的对模mmm有相同指标rrr的所有整数全体是模mmm的一个简化剩余类
indga1⋯an≡indga1+⋯+indgan(mod φ(m))\mathrm{ind}_{g}{a_1\cdots a_n}\equiv \mathrm{ind}_{g}{a_1}+\cdots +\mathrm{ind}_{g}{a_n}\left(\mod \varphi{\left(m\right)}\right)indga1⋯an≡indga1+⋯+indgan(modφ(m))
indgan≡n⋅indga(mod φ(m))\mathrm{ind}_{g}{a^n}\equiv n\cdot \mathrm{ind}_{g}{a}\left(\mod \varphi{\left(m\right)}\right)indgan≡n⋅indga(modφ(m))