指标

定义

设$m>1$为整数，$a$是与$m$互素的正整数，$g$为模$m$的一个原根，则存在唯一的$1\leq r\leq \varphi{\left(m\right)}$，使得$g^r\equiv a\left(\mod m\right)$，记作$r=\mathrm{ind}_{g}{a}$

定理

• 整数$r$满足$g^r\equiv a\left(\mod m\right)\Longrightarrow r\equiv \mathrm{ind}_{g}{a}\left(\mod \varphi{\left(m\right)}\right)$

• 以$g$为底的对模$m$有相同指标$r$的所有整数全体是模$m$的一个简化剩余类

• $\mathrm{ind}_{g}{a_1\cdots a_n}\equiv \mathrm{ind}_{g}{a_1}+\cdots +\mathrm{ind}_{g}{a_n}\left(\mod \varphi{\left(m\right)}\right)$

• $\mathrm{ind}_{g}{a^n}\equiv n\cdot \mathrm{ind}_{g}{a}\left(\mod \varphi{\left(m\right)}\right)$